Weil es gerade bei Physik um die Schildkröte und ihren unendlichen Vorsprung ging. Hier ein kurzweiliges Beispiel aus der Mathematik zum Thema Unendlichkeit, erklärt von Christian Spannagel.

Die Schachfigur Springer hat ein Forschungsteam dazu inspiriert, ein Labyrinth zu kreieren. Andere Forschungsbereiche könnten von der Methode profitieren.

Basierend auf Prinzipien der fraktalen Geometrie und des strategischen Schachspiels hat eine britisch-schweizerische Forschungsgruppe nach eigenen Angaben das schwierigste Labyrinth aller Zeiten geschaffen.

Paper: Hamiltonian Cycles on Ammann-Beenker Tilings | PDF

Älterer Post zum Thema:

• Das komplizierteste Labyrinth der Welt

Alles auf einer Seite lesen:

• Wie unendlich ist die Unendlichkeit?

Inhalt:

• Vom Kleinsten bis ins Größte - Wo begegnet uns Unendlichkeit?
• Wie viel ist unendlich plus 1? - Rechnen mit Unendlichkeiten
• Die Kunst der Zuordnung - Wie vergleicht man unendliche Zahlenmengen?
• Über die Unendlichkeit hinaus - Reelle Zahlen und die Kontinuumshypothese

Video by "Quanta Magazine", duration: 8 min

The Mandelbrot set is a special shape, with a fractal outline. Use a computer to zoom in on the set’s jagged boundary and no matter how deep you explore, you’ll always see near-copies of the original set — an infinite, dizzying cascade of self-similarity and novel features. The Mandelbrot set is a perfect example of how a simple mathematical rule can produce incredible complexity.

This video covers how the Mandelbrot set is constructed by iterating a quadratic function on the complex plane. It also delves into the connections between Mandelbrot and Julia sets while explaining the mechanics of how they both work. We also retrace the history of the discovery and exploration of these important sets, including current research on solving the key Mandelbrot Locally Connected conjecture (MLC).

Bisher 20 Folgen:

• Das Benford-Gesetz
• Infinitesimal - auf zum Allerkleinsten
• Die Poincaré-Vermutung
• Auf dem Weg in die Unendlichkeit
• Das Gefangenendilemma

• Das Gödel-Theorem
• Das Spiel des Lebens
• Irrationale Zahlen
• Die komplexe Ebene
• Die Riemann-Hypothese

• Das Ziegenproblem
• Das Simpson-Paradoxon
• Nichteuklidische Geometrie
• Rätselhafte Fünfecke
• Die Graphentheorie

• Semireguläre Polytope - Auf in die vierte Dimension!
• Die Keplersche Vermutung - Von der Kunst, Kugeln zu stapeln
• Chaostheorie - Ordnung in der Unordnung
• Der Kowalewskaja-Kreisel - Überraschend berechenbar
• Das Entscheidungsproblem - Grenzen der Mathematik

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Ein gutes Musikstück sollte ein gewisses Maß an Überraschung mit sich bringen, ohne die Hörerinnen und Hörer zu überfordern. Nun haben Forscher und Forscherinnen um die Physikerin Suman Kulkarni von der University of Pennsylvania versucht, diese intuitive Auffassung von guter Musik durch ein mathematisches Modell auszudrücken. In einer im Februar 2024 bei »Physical Review Research« erschienenen Studie haben sie untersucht, wie die Struktur eines Musikstücks mit der menschlichen Wahrnehmung zusammenhängt: Was führt dazu, dass man sich an bestimmte Passagen erinnert, und welche Momente eines Lieds erscheinen vorhersehbar? Dafür haben Kulkarni und ihr Team Werke des Komponisten Johann Sebastian Bach mit Methoden aus der Informationstheorie analysiert – und konnten so erklären, warum seine Musik nach so vielen Jahrhunderten weiterhin beliebt ist.

Paper: Information content of note transitions in the music of J. S. Bach | PDF

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Ich kann Interessierten nur empfehlen den Artikel zu lesen, da ich nicht weiß, wie ich den Inhalt gut zusammenfassen könnte.

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Es dauert ja immer ein wenig, bis man sich im Januar daran gewöhnt hat, beim Datum eine neue Jahreszahl schreiben zu müssen. Deswegen kann es vielleicht ganz hilfreich sein, sich ein paar der spannenden Eigenschaften der Zahl 24 anzusehen, um schneller damit vertraut zu werden.

Hier findet ihr einige nette Rätsel und Informationen.

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Bitte Lust und Zeit mitbringen. Die beiden Artikel sind sehr ausführlich.

Missing Link: Stephen Wolfram über die Rolle der KI in der Forschung (Teil 1): Feddit Post | Heise

Missing Link: Stephen Wolfram über die Rolle der KI in der Forschung (Teil 2): Feddit Post | Heise

Originalartikel von Stephen Wolfram (2024): Can AI Solve Science?

Bitte Lust und Zeit mitbringen. Die beiden Artikel sind sehr ausführlich.

Missing Link: Stephen Wolfram über die Rolle der KI in der Forschung (Teil 1): Feddit Post | Heise

Missing Link: Stephen Wolfram über die Rolle der KI in der Forschung (Teil 2): Feddit Post | Heise

Originalartikel von Stephen Wolfram (2024): Can AI Solve Science?

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Zufällige Prozesse finden überall um uns herum statt. An einem Tag regnet es, am nächsten nicht; Aktien und Geldanleihen gewinnen und verlieren an Wert; Staus bilden sich und lösen sich wieder auf. Da solche Systeme von zahlreichen Faktoren abhängen, die auf komplizierte Weise miteinander wechselwirken, ist es unmöglich, ihr genaues Verhalten vorherzusagen. [...]

Ein Mathematiker hat Methoden entwickelt, um solche Zufallsprozesse besser vorhersagbar zu machen, und hat damit zur Lösung eines ikonischen Modells komplexer Phänomene beigetragen. Für diese Leistungen hat er jetzt den Abelpreis 2024 erhalten. Der Abelpreis ist eine der begehrtesten Auszeichnungen in der Mathematik. Der Franzose Michel Talagrand werde damit geehrt für seine »Beiträge zur Wahrscheinlichkeitstheorie und Funktionsanalysis mit herausragenden Anwendungen in der mathematischen Physik und Statistik«, teilte die Norwegische Akademie der Wissenschaften in Oslo am 20. März mit. [...]

Mitteilung: Michel Talagrand awarded the 2024 Abel Prize

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Also machten er [Thomas Hull] und [Inna] Zakharevich sich daran zu beweisen, dass man aus Origami einen Computer bauen kann. Zunächst mussten sie die Ein- und Ausgaben von Computern sowie grundlegende logische Operationen wie AND und OR als Papierfalten kodieren. Dann müssten sie nur noch zeigen, dass ihr Schema ein anderes Rechenmodell (von dem bereits bekannt ist, dass es Turing-vollständig ist) simulieren kann.

Seit den späten 1990er Jahren ist bekannt, dass ein einfacheres eindimensionales Analogon von Conways »Game of Life« Turing-vollständig ist. Hull und Zakharevich haben herausgefunden, wie sich diese Version durch logische Operationen ausdrücken lässt und konnten das für ihr Vorhaben nutzen. »Am Ende brauchten wir nur vier Gatter: AND, OR, NAND und NOR«, sagt Zakharevich.

[...] Nachdem es ihr und Hull gelungen war, ihre Gadgets zusammenzufügen, konnten sie alles, was sie brauchten, in Papierfalten kodieren und damit zeigen, dass Origami Turing-vollständig ist.

Origami-Anwendungen:

• Krummes Origami
• Nanomaschinen aus dem Steckbaukasten

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Das Fehlermanagementsystem des Hypertext Transfer Protocol (HTTP) ist wichtig, aber nicht so ergiebig, was Formeln angeht. Zum Glück muss man in der Mathematik nicht lange nach einem passenden Thema suchen. Das hier ist die Fehlerfunktion [...]

Die Funktion wird üblicherweise als »erf« für »error function« abgekürzt. Die Fehler, um die es in dieser Funktion geht, sind keine Irrtümer oder Missgeschicke beim Rechnen – es hat vielmehr mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu tun. Nehmen wir zum Beispiel eine Reihe von Messwerten, die alle leicht voneinander abweichen, sich jedoch durch eine Normalverteilung mit Standardabweichung σ und Erwartungswert gleich 0 beschreiben lassen. Dann erhält man mit erf(a/σ√2) die Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler einer Einzelmessung zwischen –a und +a liegt.

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Auf den ersten Blick scheint es lächerlich einfach. Und doch suchen Fachleute seit Jahrzehnten vergeblich nach einer Lösung. Bereits während des Kalten Kriegs sagte der Zahlentheoretiker Shizuo Kakutani: »Etwa einen Monat lang haben alle Mathematiker in Yale daran gearbeitet – ohne Ergebnis. Ein ähnliches Phänomen trat auf, als ich es an der University of Chicago erwähnte. Es wurde gescherzt, dass dieses Problem Teil einer Verschwörung sei, um die mathematische Forschung in den USA lahmzulegen.

Bitte Warnhinweis beachten :)

Die Aussagen beziehen sich auf die Collatz-Vermutung. Dabei handelt es sich um eine dieser vermeintlich einfachen Aufgaben, in denen man sich gerne verliert. Aus diesem Grund warnen erfahrene Professoren ihre ehrgeizigen Studierenden häufig davor, sich mit der Collatz-Vermutung zu beschäftigen und ihre eigentliche Forschung aus dem Blick zu verlieren.

Die Collatz-Vermutung

Die Vermutung selbst lässt sich so einfach formulieren, dass selbst Grundschüler sie verstehen: Man nehme eine natürliche Zahl. Ist sie ungerade, multipliziert man sie mit drei und addiert eins hinzu; ist sie hingegen gerade, teilt man sie durch zwei. Mit dem Ergebnis x geht man ebenso vor: Falls x ungerade ist, rechnet man 3x + 1, sonst x⁄2. Das wiederholt man so oft wie möglich – und landet der Vermutung zufolge am Ende immer bei der Zahl 1.

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Zu seinen Lebzeiten gab es so gut wie keine Reaktion auf die greenschen Schriften und sie drohten in Vergessenheit zu geraten. 1845, vier Jahre nach Greens Tod, erkannte der 21-jährige Student William Thomson, der spätere Lord Kelvin, deren Bedeutung und gab während eines Parisaufenthalts seine Begeisterung an Joseph Liouville und Charles François Sturm weiter.

Schriften:

• An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism - "historisch gesehen der erste Versuch, mit Hilfe von Methoden der Analysis elektrische Phänomene zu beschreiben"
• Mathematical Investigations concerning the Laws of Equilibrum of Fluids analogous to the Electric Fluid
• On the Determination of the Exterior and Interior Attractions of Ellipsoid of Varying Densities
• Researches on the Vibration of Pendulums in Fluid Media
• On the Motion of Waves in a Variable Canal of small Width and Depth
• Note on the Motion of Waves in Canals
• On the Laws of Reflexion and Refraction of Light at the Common Surface of two non-crystallized Media

Greens Schriften wurden zur Grundlage der Theorien, die in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts unter anderem von William Thomson Lord Kelvin und James Clerk Maxwell weiterentwickelt wurden. Die von George Green verwendeten mathematischen Methoden, die – unabhängig von ihm – wenige Jahre später von Carl Friedrich Gauß und von George Stokes entwickelt wurden, lassen sich im Rahmen dieses Kalenderblatts nicht elementar darstellen.

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