Mathematik

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Zusammenfassung durch ChatGPT:

Esther Klein, eine ungarische Mathematikerin, stellte die Vermutung auf, dass aus fünf Punkten in einer Ebene immer vier ein konvexes Viereck bilden können. Ihre Idee führte zur Erdős-Szekeres-Vermutung, die besagt, wie viele Punkte nötig sind, um ein konvexes n-Eck zu garantieren. Esther und George Szekeres, der an der Forschung beteiligt war, heirateten und führten ein glückliches Leben. Sie starben am 28. August 2005, im Alter von 94 bzw. 95 Jahren, im Abstand von nur einer Stunde. Ihr Problem ist als "Happy Ending Problem" bekannt.

Wikipedia [en]: Happy ending problem

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Forscher träumen von einer Lösung aller wissenschaftlichen Rätsel. Durch die Kolmogorow-Komplexität schien sie zum Greifen nah – doch ein Paradoxon macht ihr den Garaus. So viel ist aber klar: die 42 ist es nicht.

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Es geht um Kettenbrüche, das Paper ist unfrei, genau wie der Autor.

Der Artikel ist schwierig zusammenzufassen, Interessierte sollten ihn ganz lesen.

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Auch wenn das zunächst furchtbar klingt, sollte man sich davon nicht entmutigen lassen. Denn aus mathematischer Sicht ist ein Diktator eine Person innerhalb der Wählerschaft, deren Wahl über das gesamte Ergebnis entscheidet – und nicht zwangsläufig ein Politiker oder eine Politikerin. Sprich: Arrow hat gezeigt, dass sich die Stimmen aller Wähler und Wählerinnen in einem Rangfolgen-Wahlsystem bis auf eine gegenseitig aufheben. Diese eine Stimme bestimmt den Wahlausgang.

Die gute Nachricht ist jedoch, dass dieser entscheidende Wähler – der Diktator – nichts von seiner Position weiß. Und besser noch: Jede Person, die zur Urne geht, könnte der Diktator sein. Wenn das mal keine Motivation ist, um wählen zu gehen. Denn das Arrow-Theorem bedeutet nicht, dass die Demokratie gescheitert ist, sondern zeigt vielmehr, dass tatsächlich jede Stimme zählt!

Origami Editor 3D is an advanced paper folding simulator. It uses a what-you-see-is-what-you-get interface and operates with a geometric abstraction of the Yoshizawa-Randlett system. Anything from a simple airplane to John Montroll's omega star can be folded in this editor.

Origami files created with the program preserve the entire folding process, and they can be exported as folding diagrams in PDF, animated GIF files, or even as standalone Java programs displaying the origami in a 3D viewer when opened.

The main purpose of this program is designing origami, but if you only want to learn how to make some origami figures, there is a set of built-in example files that can help you. Currently, there are 34 example figures available.

Although abandoned in "Pre-Alpha" state in 2017 and not fully stable, this Open Source Java-application with a size of only 300 kB works surprisingly well.

User Guide: https://origamieditor3d.sourceforge.net/userguide/en/index.html

Latest version 1.3.5 can be downloaded from the Origami Editor 3D - SourceForge page:

• Download Origami Editor 3D - JAR
• Download Origami Editor 3D - source code and example ORI files
• VirusTotal report for JAR

After Starting the editor you can load Origami-files like this Crane example:

Here is another example, the Owl:

Sometimes timeout error occur while exporting. Simply click "wait"-button until export is fully done.

I hope you can find some joy in virtual paper folding and exporting instructions for your own creations with this editor.

Also if you know of similar software, please share your experience.

My original post from around 15.10.2023 @ !origami@feddit.de: https://feddit.de/post/4572832

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Beim Autofahren regt man sich meist über andere Fahrer auf. Doch es gibt eine überraschend einfache Formel, die optimales Fahren beschreibt – man müsste sich nur daran halten.

Weil es gerade bei Physik um die Schildkröte und ihren unendlichen Vorsprung ging. Hier ein kurzweiliges Beispiel aus der Mathematik zum Thema Unendlichkeit, erklärt von Christian Spannagel.

Die Schachfigur Springer hat ein Forschungsteam dazu inspiriert, ein Labyrinth zu kreieren. Andere Forschungsbereiche könnten von der Methode profitieren.

Basierend auf Prinzipien der fraktalen Geometrie und des strategischen Schachspiels hat eine britisch-schweizerische Forschungsgruppe nach eigenen Angaben das schwierigste Labyrinth aller Zeiten geschaffen.

Paper: Hamiltonian Cycles on Ammann-Beenker Tilings | PDF

Älterer Post zum Thema:

• Das komplizierteste Labyrinth der Welt

Alles auf einer Seite lesen:

• Wie unendlich ist die Unendlichkeit?

Inhalt:

• Vom Kleinsten bis ins Größte - Wo begegnet uns Unendlichkeit?
• Wie viel ist unendlich plus 1? - Rechnen mit Unendlichkeiten
• Die Kunst der Zuordnung - Wie vergleicht man unendliche Zahlenmengen?
• Über die Unendlichkeit hinaus - Reelle Zahlen und die Kontinuumshypothese

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Original-Post auf feddit.de vom 28.03.2024, der Link funktioniert (aktuell?) wohl nicht mehr, die Musterlösung ist noch verfügbar.

Viel Spaß damit!

Jedes Jahr zu Ostern veranstalten wir ein großes Rätselspiel bei dem man Knobelfragen, aber auch interaktive Spiele, Adventures, Geocaching und vieles mehr bewältigen muss. Dabei decken die über 50 Fragen die Bereiche Allgemeinwissen, Naturwissenschaften, Gaming, Technik, Mathe, Film & Serie, Musik, Popkultur, Informatik, Logik und mehr ab. Die lustigen und anspruchsvollen Rätsel mit attraktiven Preisen locken jedes Mal tausende von Nerds an. Und es lohnt sich für jeden Einzelnen, denn gewinnen kann man schon ab der ersten richtigen Frage! Wer es sogar als erster durch alle Fragen schafft, auf den wartet ein großer Sonderpreis!

Musterlösung von 2023 als PDF:

https://www.getdigital-blog.de/wp-content/uploads/Musterloesung-getDigital-Osterraetsel-2023.pdf

Bitte Lust und Zeit mitbringen. Die beiden Artikel sind sehr ausführlich.

Missing Link: Stephen Wolfram über die Rolle der KI in der Forschung (Teil 1): Feddit Post | Heise

Missing Link: Stephen Wolfram über die Rolle der KI in der Forschung (Teil 2): Feddit Post | Heise

Originalartikel von Stephen Wolfram (2024): Can AI Solve Science?

Bitte Lust und Zeit mitbringen. Die beiden Artikel sind sehr ausführlich.

Missing Link: Stephen Wolfram über die Rolle der KI in der Forschung (Teil 1): Feddit Post | Heise

Missing Link: Stephen Wolfram über die Rolle der KI in der Forschung (Teil 2): Feddit Post | Heise

Originalartikel von Stephen Wolfram (2024): Can AI Solve Science?

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Zufällige Prozesse finden überall um uns herum statt. An einem Tag regnet es, am nächsten nicht; Aktien und Geldanleihen gewinnen und verlieren an Wert; Staus bilden sich und lösen sich wieder auf. Da solche Systeme von zahlreichen Faktoren abhängen, die auf komplizierte Weise miteinander wechselwirken, ist es unmöglich, ihr genaues Verhalten vorherzusagen. [...]

Ein Mathematiker hat Methoden entwickelt, um solche Zufallsprozesse besser vorhersagbar zu machen, und hat damit zur Lösung eines ikonischen Modells komplexer Phänomene beigetragen. Für diese Leistungen hat er jetzt den Abelpreis 2024 erhalten. Der Abelpreis ist eine der begehrtesten Auszeichnungen in der Mathematik. Der Franzose Michel Talagrand werde damit geehrt für seine »Beiträge zur Wahrscheinlichkeitstheorie und Funktionsanalysis mit herausragenden Anwendungen in der mathematischen Physik und Statistik«, teilte die Norwegische Akademie der Wissenschaften in Oslo am 20. März mit. [...]

Mitteilung: Michel Talagrand awarded the 2024 Abel Prize

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Also machten er [Thomas Hull] und [Inna] Zakharevich sich daran zu beweisen, dass man aus Origami einen Computer bauen kann. Zunächst mussten sie die Ein- und Ausgaben von Computern sowie grundlegende logische Operationen wie AND und OR als Papierfalten kodieren. Dann müssten sie nur noch zeigen, dass ihr Schema ein anderes Rechenmodell (von dem bereits bekannt ist, dass es Turing-vollständig ist) simulieren kann.

Seit den späten 1990er Jahren ist bekannt, dass ein einfacheres eindimensionales Analogon von Conways »Game of Life« Turing-vollständig ist. Hull und Zakharevich haben herausgefunden, wie sich diese Version durch logische Operationen ausdrücken lässt und konnten das für ihr Vorhaben nutzen. »Am Ende brauchten wir nur vier Gatter: AND, OR, NAND und NOR«, sagt Zakharevich.

[...] Nachdem es ihr und Hull gelungen war, ihre Gadgets zusammenzufügen, konnten sie alles, was sie brauchten, in Papierfalten kodieren und damit zeigen, dass Origami Turing-vollständig ist.

Origami-Anwendungen:

• Krummes Origami
• Nanomaschinen aus dem Steckbaukasten

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Das Fehlermanagementsystem des Hypertext Transfer Protocol (HTTP) ist wichtig, aber nicht so ergiebig, was Formeln angeht. Zum Glück muss man in der Mathematik nicht lange nach einem passenden Thema suchen. Das hier ist die Fehlerfunktion [...]

Die Funktion wird üblicherweise als »erf« für »error function« abgekürzt. Die Fehler, um die es in dieser Funktion geht, sind keine Irrtümer oder Missgeschicke beim Rechnen – es hat vielmehr mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu tun. Nehmen wir zum Beispiel eine Reihe von Messwerten, die alle leicht voneinander abweichen, sich jedoch durch eine Normalverteilung mit Standardabweichung σ und Erwartungswert gleich 0 beschreiben lassen. Dann erhält man mit erf(a/σ√2) die Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler einer Einzelmessung zwischen –a und +a liegt.

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Auf den ersten Blick scheint es lächerlich einfach. Und doch suchen Fachleute seit Jahrzehnten vergeblich nach einer Lösung. Bereits während des Kalten Kriegs sagte der Zahlentheoretiker Shizuo Kakutani: »Etwa einen Monat lang haben alle Mathematiker in Yale daran gearbeitet – ohne Ergebnis. Ein ähnliches Phänomen trat auf, als ich es an der University of Chicago erwähnte. Es wurde gescherzt, dass dieses Problem Teil einer Verschwörung sei, um die mathematische Forschung in den USA lahmzulegen.

Bitte Warnhinweis beachten :)

Die Aussagen beziehen sich auf die Collatz-Vermutung. Dabei handelt es sich um eine dieser vermeintlich einfachen Aufgaben, in denen man sich gerne verliert. Aus diesem Grund warnen erfahrene Professoren ihre ehrgeizigen Studierenden häufig davor, sich mit der Collatz-Vermutung zu beschäftigen und ihre eigentliche Forschung aus dem Blick zu verlieren.

Die Collatz-Vermutung

Die Vermutung selbst lässt sich so einfach formulieren, dass selbst Grundschüler sie verstehen: Man nehme eine natürliche Zahl. Ist sie ungerade, multipliziert man sie mit drei und addiert eins hinzu; ist sie hingegen gerade, teilt man sie durch zwei. Mit dem Ergebnis x geht man ebenso vor: Falls x ungerade ist, rechnet man 3x + 1, sonst x⁄2. Das wiederholt man so oft wie möglich – und landet der Vermutung zufolge am Ende immer bei der Zahl 1.

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Zu seinen Lebzeiten gab es so gut wie keine Reaktion auf die greenschen Schriften und sie drohten in Vergessenheit zu geraten. 1845, vier Jahre nach Greens Tod, erkannte der 21-jährige Student William Thomson, der spätere Lord Kelvin, deren Bedeutung und gab während eines Parisaufenthalts seine Begeisterung an Joseph Liouville und Charles François Sturm weiter.

Schriften:

• An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism - "historisch gesehen der erste Versuch, mit Hilfe von Methoden der Analysis elektrische Phänomene zu beschreiben"
• Mathematical Investigations concerning the Laws of Equilibrum of Fluids analogous to the Electric Fluid
• On the Determination of the Exterior and Interior Attractions of Ellipsoid of Varying Densities
• Researches on the Vibration of Pendulums in Fluid Media
• On the Motion of Waves in a Variable Canal of small Width and Depth
• Note on the Motion of Waves in Canals
• On the Laws of Reflexion and Refraction of Light at the Common Surface of two non-crystallized Media

Greens Schriften wurden zur Grundlage der Theorien, die in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts unter anderem von William Thomson Lord Kelvin und James Clerk Maxwell weiterentwickelt wurden. Die von George Green verwendeten mathematischen Methoden, die – unabhängig von ihm – wenige Jahre später von Carl Friedrich Gauß und von George Stokes entwickelt wurden, lassen sich im Rahmen dieses Kalenderblatts nicht elementar darstellen.

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