Eine Mietminderung "bekommt" man nicht. Man mindert als Mieter einfach die Miete mit der schriftlichen Begründung, dass ein Mietmangel vorliegt.
Natürlich macht es Sinn, sich vorher zu vergewissern, dass wirklich ein Mietmangel vorliegt. Da wäre in Deutschland – neben Anwälten für Mietrecht – allerdings eher der Mieterbund statt feddit.de die erste Anlaufstelle
Ob man mit einer Mietminderung eine schnellere Reparatur bekommt, hängt vom Vermieter ab. Wahrscheinlich sind tägliche Nachfragen nach dem Stand der Dinge – am besten koordiniert mit Mitmietern – auch hilfreich.
Je mehr Leute in dem Objekt wohnen, desto wichtiger ist auch, dass möglichst viele mitmeckern und –mindern. Wenn von 100 Mietern nur einer meckert und Miete mindert, kann es für den Vermieter wirtschaftlich immer noch günstiger sein, nichts zu tun und die Minderung zu akzeptieren.